5-9. ２進法・ビット演算子
◆ビット
これからはもっとハードウェアに近いお話になります。
ビットについてのお話です。いままでのビットの説明は、
半角１文字＝１バイト＝８ビット
という説明だけでした。
これだけでは情報の容量の単位でしかわからないですね。
そもそもビットとは何を表しているのでしょうということからはじめます。
ビット(bit:binary digit)は２進数字の略です。具体的に０と１の２進法で使われる２つの数字のことです。
コンピュータではこの１と０を電気的に記憶することからメモリの記憶容量の単位にも使われています。
またプログラムではビットは計算上２進数の桁数としても使われます。
(ハード的にはレジスタですが)
◇２進法とは
２進法とはズバリ０と１だけで計数することです。
これだけでは、意味が通じないので生活上のほかの例で行きましょう。
まずは、ふだん使うアラビア数字０～９は１０進法です。
１０になると桁が１つ増えます。
そして、時間は１２(２４)進法と６０進法の両方を使います。(注：秒以上)
６０分で１時間、１２時間で午前・午後が変わり、２４時間で１日です。
タバコとビールは２０進法です(笑)、１箱が２０本ですから…
鉛筆などは１２進法です。(１２本＝１ダース)
以上の例からコンピュータでは普段使ういろいろな計数法をすべて２進法に変換して操作しているのです。(時間も２進法で計算するからスゴイ！)
１００分が１時間４０分と変換するような要領で２進数を１０進数にしてみましょう。
２進数 １０進数
０ ０
１ １
１０ ２
１１ ３
・ ・
・ ・
１１１ ７
２進数では０と１しか使えないのでどんどん桁上がりしているのがわかりますね、
◆２進数使うのは何故？
さて、コンピュータが２進数なのは何故でしょう？
－デジタルだから？アナログじゃないから….
確かにそうですがそもそもデジタルって…
デジタル：計数型
アナログ：計量型
デジタルとアナログの違いは上のようになります。
もちろん、今のコンピュータは電気的にデジタルで処理しています。
そうすることによって、電気ノイズによる計算間違いが起こらないようにしています。
(デジタルだとノイズの影響がないとは言えませんがアナログに比べ大変ノイズに強いです)
しかも２進数であるのは中途半端は値を許さないからです。
(白黒ハッキリしてるわけね…)
メモリは電気的に情報を記憶しますが、もっと詳しく言うとメモリ内部のトランジスタにかける電圧によって０と１を表現します。
これがもし１０進数で格納するとしたら電圧を１０段階に分けてかけなければならないのでコンピュータにとって煩雑になります。
(多分、回路設計者は大変になるでしょう)
もちろん、計数間違いの危険性も高くなります。
ところでアナログですがこちらも利点があります。理論上、精度が無限大であることです。あと計量的なのでい一般にデジタルより計算は高速になります。
ただし、ノイズに弱いのでノイズ対策が甘いと常に誤差を出します。
1 + 1 = 2.00000000000000000000000000437467
みたいな事が常に起こるわけです。その点デジタルは情報の劣化(ＡＤ変換などを除く)が起こらないので情報分野では重宝されます。
また、年々デジタルはより高精度に、より高速に発展しているので速度的にも
アナログでないと無理だったテレビの受信もできるようになりました。
というわけで、パソコンは２進数なのです。
コンピュータのためにも２進数を使うことを理解してあげてください(自爆)
◆ビット演算子
ビット演算子とはこれまでの演算子と違い数値をビット単位で論理演算するものです。
なのでビット演算子をつかうには１０進数を２進数で表した時の数値を理解してないとダメです。
ずっと前にintは１６ビットまたは３２ビットのデータ長と説明しましたが、これは２進数で表した時の最大桁数になります。
(ここでは絶対値で言っています)
また数値より上の桁は０で埋められます。
１０なら、00000000000000000000000000001010 です。
ここでは、演算子の説明だけに絞りたいのでデータ長は８ビットで扱います。
ビット演算子には次の種類があります。
ＡＮＤ：&
ＯＲ：|
ＸＯＲ：^
ＮＯＴ：~
ＬＥＦＴ：< >
ＡＮＤ・ＯＲの真理値は前に論理演算子で説明しましたが、今回排他的論理和(ＸＯＲ)という新しいものが出てきています。
ＸＯＲの真理値は次にようになります。
Ａ Ｂ ＸＯＲ
０＾０ ０
０＾１ １
１＾０ １
１＾１ ０
ＡとＢの値が異なると１となります。
これらビット演算子はビット単位(各桁)で演算するので、
６＆１３ とすると、
６：０１１０
＆ １３：１１０１
─────────
４：０１００
となります。
６｜１３ならば、
６：０１１０
│ １３：１１０１
─────────
１５：１１１１
となります。
また～はビットの反転を行うので
＾６は
～６：０１１０
────────
９：１００１
になります。
そして、ＬＥＦＴとＲＩＧＨＴはそれぞれ左右にビットをシフトします。
６＜＜１ ６を１ビット左シフト
６：０１１０
／／／／
１２：１１００ (右端に０が追加される)
６＞＞２ ６を２ビット右シフト
６：０１１０
＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼
１：０００１ (左端に０が追加される)
また、シフトによってはみ出したビットはその情報が消滅してしまいます。
なお、負の整数のシフトについては規定がなくこれもコンパイラによって処理が異なることがあるのでそこまで突っ込みません(前回の反省より)
◆論理演算子の罠
論理演算子のついて今までは関係演算子とともに使っていましたが、それ以外の場合について説明します。
今までは、2<i && i<9 のような使い方をしていました。
それでは i && 9 としたらどうでしょう。ここではじめて０と１以外の値が真偽の判定に使われました。
結論から言いますと０以外の値は真として見なします。
内部的には(zero flag)を検知しているのでしょう。
上の論理式の場合 9 は恒真なので i が０であれば偽、それ以外は真になります。
次に、算術演算を含んだ論理式はどうでしょうか？
1+1 && 3-2-1+7
のようなものです。これはもちろん算術演算された結果を判定に使うので、
2 && 7
と同じ意味で真になります。代入演算式も含むことができます。
たとえば、x = 1 && y = 2
このような使い方ができるということです。
しかし！ ここに罠がありました！
論理積の場合、１番目の式が偽であれば２番目がどんな値を取ろうとも偽になります。そして高速化のため２番目を省略してしまうのです。
x = 0 && y = 2
という式があった時 x = 0 の時点で論理式が偽になることがわかるので y = 2 が省略されて実行されないのです。
そして論理和の場合１番目が真ならば必ず式全体が真になるのでこのとき２番目が省略されます。
x < 2 || y = x + 2
もし x < 2 が真ならば右側の代入が行われなくなります。
というわけでくれぐれも論理式内での代入演算は気をつけましょう。
◆負の２進数の表現
ビット演算を行うのあたって２進数の負の表現を理解しておく必要のあるところがありましたので、ここで紹介させていただきます。
ここでは説明を簡略化するため４ビットの２進数を利用します。
通常４ビットで数値を表現しようとすると(数値でなくてもいいが)１６種類の値が表現できます。これを０～１５の数値に割り当てて使っています。
しかし、これでは負の数を表すことができません。そこで１６種類のうち半分の８種類を負の数に割り当ててみましょう。
０ ００００
１ ０００１
２ ００１０
３ ００１１
４ ０１００
５ ０１０１
６ ０１１０
７ ０１１１
とここまでは、一緒です。
正 負
８ －８ １０００
９ －７ １００１
１０ －６ １０１０
１１ －５ １０１１
１２ －４ １１００
１３ －３ １１０１
１４ －２ １１１０
１５ －１ １１１１
ここで正負の表現が変わりました。
ポイントとしては、
１．左端のビットが１である。
２．負の数を増分していくと０で一致するのでコンピューターにとって計算がラク。
ということです。２についてもう少し説明しますと、
－３＋７＝４ は
１１０１
＋ ０１１１
──────
１０１００ ５ビット目は溢れて無視されるので ０１００＝４
２－５＝－３ …２＋(－５)＝－３ として計算
００１０
＋ １０１１
──────
１１１０１ ５ビット目を無視して １１０１＝－３
こんな感じでコンピュータ側には正負の意識の必要がないようになっています。
それだけでなく減算も加算として計算できるメリットがあります。
また左端のビットの状態により正負の判断ができるので、負の数の出力ができます。
で、これでは人間にとってはわかりにくいでしょう。(もともと二進だし)
ということで、負の２進数の求め方をちょっと紹介しましょう。
方法１：忠実な方法
たとえば－３を表現したいと思います。
符号キーのついてない電卓ではどうしますか。
０－３＝－３ ってしますね。
これと似たようなことをやってみます。
データ長が４ビットの場合なら
００００－００１１
まだこれだとわかりにくいので５桁目に１があると仮定して
１００００－００１１ とします。
(右４桁の状態が同じなので結果に変化はありません)
それを１０進数で計算すると
１６－３＝１３ となります。結果の４ビットは同じなので。
－３は正の１３の状態と同じです。結果は１１０１になりました。
方法２：メジャーな方法
こちらは多くの人が使っているメジャーな方法です。
やり方は簡単ビットを反転して１を足すのです。
－３を表現するには３を反転して１を足すのです。
００１１─(反転)→１１００─(＋１)→１１０１
めちゃ簡単でしょ。(おおっ！)
これは２つとも『補数』の理論を実用化したものです。
補数の理論まで書いちゃうと『第二種午前対策』になっちゃうし、ここでは、負の数は左端のビット１であることだけを説明したかったので、詳細は割合させていただきます。
◆ビット演算子の技
さあ、ここではビット演算子の定番の技を紹介します。
１．マスク
最近、家でもＬＡＮをされる方が増えましたが、ネットマスクとか言って２５５．２５５．２５５．０ なんて値を見たことがあるかと思います。
マスクとはビット列の内の１部分を０に初期化する働きがあります。
マスクではＡＮＤ(論理積)を利用して初期化したいビットに０を入れます。
たとえば、1101010010010111 というビット列があります。これを下位８ビットをマスクしてみます。(Ｃ言語上では１６進数表現で使います)
0xd497 & 0xff00
0xd497 1101010010010111
0xff00 1111111100000000
─────────────
0xd400 1101010000000000 下位８ビットが初期化されました。
－ところで、ネットマスクは何につかってるの？
ネットマスクはネットワークアドレス(先頭アドレス)とネットワークの範囲の特定に使われます。つまり、初期化した時のアドレスが先頭アドレスになり、初期化されて桁数がネットワークの範囲(ＩＰの範囲)になります。
自分のＩＰアドレスが １９２．１６８．１２８．１３３ とします。
それで、ネットマスクが２５５．２５５．２５５．０ のときは
１９２．１６８．１２８．０ がネットワークアドレスになり初期化されたビット数は８なのでネットワークアドレスを先頭に２５６個のＩＰがその範囲になります。
つまり１９２．１６８．１２８．０～２５５が１つのネットワークとなります。
２．セット
今度は１とは逆に指定したビットを１に初期化します。
(マスクはリセットしている)
方法は演算子をＯＲ(論理和)使い、セットしたいビットに１を代入します。
ちょうどマスクと逆ですね…
0xd497 | 0xff00
0xd497 1101010010010111
0xff00 1111111100000000
─────────────
0xd400 1111111110010111 上位８ビットがセットされました。
３．反転
反転はＸＯＲ(排他的論理和)を使います。
反転させたいビットに１を代入します。
0xd497 ^ 0xff00
0xd497 1101010010010111
0xff00 1111111100000000
─────────────
0xd400 0010101110010111 上位８ビットが反転されました。
４．シフトについての注意！
ビットシフトには『論理シフト』と『算術シフト』の２種類が存在します。
論理シフト：単純にビットを移動する。符号の保証がない。
算術シフト：符号ビットを保証するシフト演算、数値の２倍、半分などの演算が符号による不具合なしにできる。
これらはどのように区別するのかは、変数の宣言にみればわかります。
unsigned(符号なし)で宣言されていれば論理シフトになります。
もちろん符号がないのでシフトによる符号の反転が起こらないため問題ありません。
そして符号付の変数の場合シフト演算によって符号が反転しないように、左端のビットの値は固定されます。また右シフトしたとき左端のビットの値が代入されていきます。これが算術シフトです。