5-8. 論理演算子・論理の表現
◆論理とは？
論理というと結構苦手な人多いのではないでしょうか？
数学の中でも最も記号の統一性が無いと言うか…
具体的に論理で使う記号は、∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩∧∨￢≡～などがあって
この中には、複合的な意味を持つものと同じ意味を持っているものがあります。
コンピュータではそんな複雑なことはしないので少し楽です。
基本的にコンピュータの論理に使うのは次の３つです。
(コロンより右側がＣ言語での表記です)
論理積(ＡＮＤ)∩・∧：&&
論理和(ＯＲ) ∪・∨：||
否定(ＮＯＴ) ～・￢：!
結果として真と偽の２値で表現されます。
では、論理をベン図を用いて説明していきましょう
対象は、論理積(ＡＮＤ)と論理和(ＯＲ)それに否定(ＮＯＴ)です。
まずは論理積、言葉で表現すると、
Ａ かつ Ｂ、 ＡでありＢでもある。 …となります。
これを図にして表現すると、
●：Ａの円
○：Ｂの円
※：Ａ ＡＮＤ Ｂ の領域
●●● ○○○
●● ●◎○ ○○
● ○※● ○
● ○※● ○
● ○※※※● ○
● ○※※※● ○
● ○※※※● ○
● ○※● ○
● ○※● ○
●● ●◎○ ○○
●●● ○○○
となり、ＡとＢの両方に属する部分になります。
つぎに、論理和ＯＲ、言葉で表現するとＡまたはＢとなります。
つまりＡとＢのどちらかに属していればよいので(両方に属していてもいい)
ベン図は次のようになります。
●：Ａの円
○：Ｂの円
※：Ａ ＯＲ Ｂ の領域
●●● ○○○
●●※※※●◎○※※※○○
●※※※※※○※●※※※※※○
●※※※※※○※●※※※※※○
●※※※※※○※※※●※※※※※○
●※※※※※○※※※●※※※※※○
●※※※※※○※※※●※※※※※○
●※※※※※○※●※※※※※○
●※※※※※○※●※※※※※○
●●※※※●◎○※※※○○
●●● ○○○
最後に否定のＮＯＴ、これはＡでないなどと表現されます。
これをベン図にすると、
●：Ａの円
○：Ｂの円
※：ＮＯＴ Ａ の領域
※※※※●●●※※※○○○※※※※
※※●● ●◎○※※※○○※※
※● ○ ●※※※※※○※
※● ○ ●※※※※※○※
● ○ ●※※※※※○
● ○ ●※※※※※○
● ○ ●※※※※※○
※● ○ ●※※※※※○※
※● ○ ●※※※※※○※
※※●● ●◎○※※※○○※※
※※※※●●●※※※○○○※※※※
図のようにＮＯＴ Ａ はＡの外側になりました。
◆論理の表現
今日は、コンピュータで論理の表現についてです。
前回行った、論理積、論理和、否定などはコンピュータではどのように表現されているのでしょうか？
つまり、真と偽がコンピューター内で表現される時どうなっているかという内
容になります。
まず、今までどおりの論理で０～９までの数値をとる変数ｉを考えて見ます。
集団Ａの条件はｉ＞３、集団Ｂの条件は０＜ｉ＜７とします。
それを、図に表すと下のようになります。
┌───Ａの集団────┐ ┌─┬─────┬─────┬─────┐ │０│１ ２ ３│４ ５ ６│７ ８ ９│ └─┴─────┴─────┴─────┘ └───Ｂの集団────┘
ここで ＡかつＢとすれば、対象となる範囲は４～６になります。(ＡＮＤ)
また ＡまたはＢとすれば、対象となる範囲は１～９になります。(ＯＲ)
これがコンピュータではどのようになるのか？
いままでは、条件をすべて真と見なして取りうる範囲を求めましたが、コンピュータでは条件の真偽しか判断することができません。
つまり、変数ｉは既知でなければならず、それが条件を満たしているかどうかの判断しかできないのです。(もちろん真偽は１・０の値として表現されます)
それでは、上の例をｉを０～９まで値を変えながらどのように判断されるか表にしてみます。
論理積(ＡＮＤ)の場合：
ｉの値 Ａ Ｂ ＡかつＢ
０ 偽 偽 偽
１～３ 偽 真 偽
４～６ 真 真 真
７～９ 真 偽 偽
ＡかつＢはＡもＢもどちらとも条件を満たさなければ偽と判断されます。
次に、
論理和(ＯＲ)の場合：
ｉの値 Ａ Ｂ ＡまたはＢ
０ 偽 偽 偽
１～３ 偽 真 真
４～６ 真 真 真
７～９ 真 偽 真
ＡかＢのどちらか条件を満たせばよいので１～９の範囲で真と判断されます。
これらを、コンピュータが扱う値に直すと、関係演算子も論理演算子も真偽は１と０の値で表現されるので、上の表は次のように書きなおすことができます。
Ａ Ｂ ＡＮＤ ∥ Ａ Ｂ ＯＲ
０ ０ ０ ∥ ０ ０ ０
０ １ ０ ∥ ０ １ １
１ ０ ０ ∥ １ ０ １
１ １ １ ∥ １ １ １
最後に演算例としてｉが２のとき、
Ａ：ｉ＞３ ２＞３ …偽→０
Ｂ：０＜ｉ＜７ ０＜２＜７…真→１
Ａ＆Ｂ：ＡかつＢ ０かつ１ …偽→０
結局ｉ＝２のとき
ＡかつＢ(３＜ｉ＜７)は偽と判断されます。
ずいぶん前置きが長くなってしまいましたが久々Ｃ言語にもどります。
Ｃ言語の論理演算子は次の３種類があります。
論理積 &&
論理和 ||
論理否定 !
このうち論理否定だけが単項演算子で前置です。真と偽を反転します。
これを前回の例を使って、関係演算子と一緒に使うと、
i > 3 && (i > 0 && i 3) && (i > 0 && i 3 && (i > 0 && i < 7))
２つとも正解です。説明のためにこれらの式を言葉にしてみましょう。
２は３より大きくない かつ ０より大きく７より小さい。
(２は３より大きい かつ ０より大きく７より小さい)以外。
いままでの説明が長かったので実際に演算子にはいるとこうも説明が短くなるのかな～